Otavan Opiston logoOtavan OpistoNettilukioNettiperuskouluMuikku
OPPIMATERIAALIT|OPISKELU|REKISTERÖIDY|OPPILAITOSKÄYTTO|OHJEITA|YHTEYSTIEDOT|PALAUTE|
Etusivulle Muikku-ympäristö

5.2. Yhtälön ratkaiseminen

Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa sitä, että etsitään kaikki sellaiset luvut, jotka toteuttavat yhtälön. Toisin sanoen nämä luvut sijoitettuna muuttujakirjaimen paikalle tekevät yhtälöstä toden. Tällaista lukua kutsutaan yhtälön ratkaisuksi eli juureksi. Yhtälöllä voi olla myös useampi kuin yksi ratkaisu. Kaikki ratkaisut yhdessä muodostavat ratkaisujoukon. Määrittelyjoukko puolestaan on sellainen lukujoukko, josta yhtälön muuttujalle voidaan sijoittaa arvoja ja josta yhtälön ratkaisut siten etsitään. Jos määrittelyjoukkoa ei erikseen mainita, on se yleensä reaalilukujen joukko ℝ.

Kun kahdella yhtälöllä on sama ratkaisu, niitä kutsutaan yhtäpitäviksi. Yhtälö ratkaistaan niin, että alkuperäistä yhtälöä yksinkertaistetaan eli sievennetään muodostamalla alkuperäisen kanssa yhtäpitäviä yhtälöitä, kunnes yhtälö on muotoa x=a, missä a on yhtälön ratkaisu.

Yhtälöä sievennettäessä yhtäpitävyyden täytyy säilyä joka vaiheessa. Luvallisia sievennyskeinoja ovat

  1. Yhtälön molemmille puolille lisätään tai vähennetään sama luku.
  2. Yhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla luvulla (paitsi nollalla).
  3. Yhtälön molemmat puolet jaetaan samalla luvulla (paitsi nollalla).

Se, mitä yhtälölle tehdään, ilmoitetaan merkitsemällä yhtälön oikealle puolelle yksi tai kaksi pystyviivaa ja sen jälkeen toimenpide, mitä yhtälölle tehdään.

Esimerkki 3.

Lisätään yhtälön x − 4 = 12 molemmille puolille sama luku.

x − 4 = 12 ∥ +4 (yhtälön molemmille puolille lisätään 4)

x − 4 + 4 = 12 + 4

x = 16

Yhtälön ratkaisuksi saatiin x = 16.

Esimerkki 4.

Vähennetään yhtälön x + 5 = 15 molemmilta puolilta sama luku.

x + 5 = 15 ∥ −5

x + 5 − 5 = 15 − 5

x = 10

Yhtälön ratkaisuksi saatiin x = 10.

Esimerkki 5.

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet samalla luvulla.

Ratkaisuksi saatiin x = 6.

Esimerkki 6.

Jaetaan yhtälön 4x=12 molemmat puolet samalla luvulla.

4x = 12 ∥ :4

4x : 4 = 12 : 4

x = 3

Ratkaisu on x=3.

Esimerkki 7.

Ratkaise yhtälö x − 12 = 38.

x −12 = 38 ∥ + 12

x −12 + 12 = 38 + 12

x = 50

Esimerkki 8.

Ratkaise yhtälö 2x + 3 = x.

2x + 3 = x ∥ −x

2x − x + 3 = x − x

x + 3 = 0 ∥ − 3

x = -3

Ennen kuin yhtälö on muotoa x = a, kaikki muuttujatermit on saatava yhtälön vasemmalle ja kaikki vakiotermit oikealle puolelle. Se tehdään edellisten esimerkkien osoittamalla tavalla. Vaivattomammin saman saa tehtyä siirtämällä termi yhtälön toiselle puolelle. Se tapahtuu siirtämällä kokonainen termi (vakio- tai muuttuja-) yhtäsuuruusmerkin toiselle puolelle vaihtamalla samalla termin etumerkki.

Esimerkki 9.

Ratkaise yhtälö 3x − 4 = 2x + 1.

3x − 4 = 2x + 1

3x − 2x = 1 + 4 (Nyt muuttujatermit ovat vasemmalla ja vakiotermit oikealla puolella)

x = 5

Esimerkki 10.

Ratkaise yhtälö −2x − 7 = −5x + 14.

−2x − 7 = −5x + 14

−2x + 5x = 14 + 7

3x = 21 ∥ :3 (Jaetaan molemmat puolet kolmella)

x = 7

Esimerkki 11.

Ratkaise yhtälö 3(2 + x) = 7.

3(2 + x) = 7

6 + 3x = 7

3x = 7 - 6

3x = 1

Vastaus pyritään antamaan mahdollisuuksien mukaan tarkkana arvona. Murtoluku on aina tarkka arvo.

RATKAISUOHJEET

  1. Sievennetään yhtälöä poistamalla sulut.
  2. Siirretään muuttujatermit yhtälön vasemmalle ja vakiotermit oikealle puolelle.
  3. Yhdistetään samanmuotoiset termit.
  4. Jaetaan yhtälön molemmat puolet muuttujan kertoimella tai kerrotaan molemmat puolet muuttujan jakajalla.

VERTAA RATKAISUOHJEITA EDELLISIIN ESIMERKKEIHIN!

Seuraava sivu